Theorien zur Formalanalyse mehrstimmiger Musik Die Entropieabnahme bei Abhängigkeit zwischen mehreren simultanen Informationsquellen und bei Übergang zu Markoff-Ketten höherer Ordnung, untersucht an musikalischen Beispielen

Der vorliegende Bericht stützt sich auf die Arbeiten von WILHELM PUCKS und baut auf den Methoden und Ergebnissen des genannten Autors auf. Die Kenntnis der im Verzeichnis angeführten Literatur darf vorausgesetzt werden. Die im Text erwähnten statistischen Begriffe (Mittelwert, Streuung etc. ) wurden von FUCKS zur Untersuchung musikalischer Elemente benutzt. Er stellte eine Reihe von Analysen an, indem er zunächst die relative Häufigkeit der Tonhöhen einstimmiger Melodien (Violin- und Flötenstimmen, Gesangs-Oberstimmen aus klassischen Werken von etwa 1500 bis heute) berechnete. Es wurde gezeigt, daß die Streuung und die Entropie der Zahlenwerte unabhängig voneinander proportional zur Entstehungszeit der Musik monoton ansteigen. Sodann wurden Intervalle zwischen je zwei benachbarten Tönen gebildet und ebenfalls deren Häufigkeit ausgezählt. Da hier die Streuung wegen der qualitativen Gleichheit oktavversetzter Töne als Hilfsmittel unbrauchbar ist, wurde die Kyrtosis der Zahlenwerte be rechnet. Trägt man die erhaltenen Werte wieder als Punktion der Zeit auf, so erfolgt nur zum Teil ein monotoner Anstieg; eine Gruppe von Zwölftonkompo sitionen dagegen sinkt auffallend tief, sogar noch unter die Werte der Barockzeit und der franko-flämischen Periode, ab. Die sog. Tonhöhenübergangsmatrix in den erwähnten Arbeiten gibt ein anschau liches Bild davon, welche Töne jeweils aufeinander folgen. Vergrößert man den Abstand zwischen den benachbarten Elementen schrittweise um 1, so kann für jeden Abstand q eine weitere Matrix aufgestellt werden. Die Übergangsmatrizen q-ter Ordnung lassen sich durch Korrelationsellipsen ersetzen, die zwischen den Grenzfällen »Parallele Geraden« und »Kreis« alle möglichen Formen annehmen können. Dasselbe Verfahren läßt sich auch auf Intervallpaare anwenden.