Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen

In der Monographie "Eindeutige analytische Funktionen" weist Herr R. NEVANLINNA auf eine Reihe von Einzelfragen hin, die aus Platzmangel nicht behandelt werden konnten. Es handelt sich dabei urn Untersuchungen, die mit den beiden Hauptsiitzen der Wertver­ teilung in enger Beziehung stehen. Mit dem vorliegenden Bericht wird der Versuch gemacht, diese Lucke auszufullen. Eine solche Zielsetzung bedingt insofern eine Abweichung von der ublichen Berichtsform, als die Beweise eingehender dargestellt werden mussen. In der Einleitung habe ich versucht, die zentralen Fragen der Wertverteilungslehre an den rationalen Funktionen zu erliiutern. Da­ nach ordnet sich die Theorie des Maximalgliedes bei ganzen trans­ zendenten Funktionen organisch in den Bericht ein und erscheint nicht nur als ein wichtiges Hilfsmittel beim Studium der L6sungen gewohnlicher Differentialgleichungen. Die Tatsache, daB die Wert­ verteilungslehre sich bei manchen Untersuchungen uber die Losungen gewohnlicher Differentialgleichungen als besonders zugkriiftiges Hilfs­ mittel erweist, rechtfertigt einen kurzen Exkurs in diese Theorie. 1m Zusammenhang mit der Umkehrung der zweiten Haupt~ ungleichung und mit dem Umkehrproblem der Wertverteilung spielen die einfach zusammenhangenden Flachen mit endlich vielen Grund­ punkten eine ausgezeichnete Rolle. Zu ihrer Behandlung eignen sich quasikonforme Abbildungen. Aus diesem Grunde werden konforme und quasikonforme Abbildungen von Ringgebieten ausfuhrlich er­ ortert, insbesondere ein Satz uber die Verzerrung bei quasikonformen Abbildungen. Wie wichtig Modulabschiitzungen fur die Theorie der konformen Abbildung sind, zeigen eindringlich die Untersuchungen von H. GROTZSCH, auf die gelegentlich hingewiesen wird.