Integralgleichungen Theorie und Numerik

1.1 Integralgleichungen Eine spezielle Integralgleichung ist aus der Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen wohlbekannt. Das Anfangswertproblem (1.1.1} y'(x)=f(x,y) fürx;:,x , 0 wird durch Integration von x bis x in die Form 0 X (1.1.2} y(x)=yo + 1 f(~.y(~JJd; 0 gebracht, da die Integraldarstellung (2} für den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der Differentialgleichung (1} besser geeignet ist. Allgemein ist eine Integralgleichung eine Gleichung für eine unbekannte Funktion {, wobei f u.a. im Integranden eines Integrals auftritt. Die Integralgleichungen werden weiterhin nach Merkmalen unterschieden, die im folgenden verbal charakterisiert werden. Fredholmsche Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich über ein 1 festes Intervall des R oder einen allgemeineren festen Integrationsbereich (Teilmenge des Rd, Kurve, Oberfläche etc.l. Voltarrasche Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich über einen mit der Variablen x sich verändernden Bereich (vgl. (2}). Unabhängig von dieser Kennzeichnung ist die folgende Einteilung: Integralgleichung 1. Art: Die unbekannte Funktion kommt nur im Integranden vor. Integralgleichung 2. Art: Die unbekannte Funktion erscheint auch außerhalb des Integranden. Wie bei Differentialgleichungen unterscheidet man lineare Integralgleichungen: Die Gleichung ist linear in der unbe­ kannten Funktion. Im sonstigen Fall spricht man von einer nichtlinearen Integralgleichung. Eine weitere Unterteilung ist von den vorhergehenden Charak­ terisierungen unabhängig und betrifft die Integralbildung: reguläre Integralgleichung: Das Integral existiert als eigentliches Integral. schwach singuiäre Integralgleichung: Das Integral existiert als uneigentliches Integral.