Gewöhnliche Differentialgleichungen Eine Einführung

VIII gestellt Bei einer ersten Lektiire kannen die als "Ergiinzung" gekenn­ zeichneten Abschnitte sowie der § 13 tibergangen werden. Es werden Vorkenntnisse tiber Analysis und Lineare Algebra vorausgesetzt, wie sie im ersten Jahr des Mathematikstudiums erworben werden. Die Integrationstheorie von Lebesgue wird in diesem Buch nicht benutzt, wenn wir von der Ergiiozung zu § 10 (DitTerentialgleichungen im Sinne von Caratheodory) und vom Entwicklungssatz 28. XII beim Eigenwertproblem absehen. Da wir an mehreren wichtigen Stellen bewiihrte Beweismethoden aufgeben, sind ein paar prinzipielle Bemerkungen wohl angebracht. Methodisch steht, wenn wir von den Randwertaufgaben im letzten Kapitel absehen, das Kontraktionsprinzip, also der Fixpunktsatz fUr kontrahierende Abbildungen im Banach-Raum, im Zentrum. Dieser Satz hat aIle Eigenschaften, die ihn zu einem fundamentalen Prinzip der Analysis machen: es ist elementar, vielseitig anwendbar und weitreichend. Seine Flexibilitiit im Zusammenhang mit unserem Gegenstand erweist sich vor allem bei der Verwendung geeigneter bewichteter Maximum-Normen. Ein erstes Beispiel daflir fmdet sich in der Arbeit von Morgenstern (1952); die in der Literatur vielfach gefundenen Hinweise auf spiitere Autoren sind historisch nicht ge­ rechtfertigt. Neu dtirfte wohl die Verwendung einer solchen Norm beim Beweis des Existenzsatzes fUr lineare Systeme im Komplexen in § 21 sein. Dadurch werden erstens kompliziertere Sachverhalte aus der Funktionentheorie umgangen (analytische Fortsetzung und Monodromiesatz werden entbehrlich). Zweitens ergeben sich, sozu­ sagen nebenbei, die fUr die Behandlung der singuliiren Stellen wich­ tigen Wachstumseigenschaften der Lasungen.