Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale

Il testo intende fornire un’introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. É in particolare pensato per i corsi universitari triennali e della laurea Specialistica in Matematica e Ingegneria. L'impostazione della teoria della misura è di tipo astratto, intesa ad arrivare rapidamente al classico teorema di estensione delle funzioni d'insieme sigma-additive, strumento di uso frequentissimo in probabilità. Essa presuppone una qualche conoscenza dell'integrale di Lebesgue in spazi euclidei, anche se la costruzione di quest'ultimo viene richiamata nel testo insieme alle sue proprietà fondamentali. Gli argomenti tipici della teoria dell'integrazione sono sviluppati in modo piuttosto approfondito, cercando laddove possibile di dedurre anche risultati classici dalla moderna impostazione della teoria. Ad esempio, il teorema di approssimazione di Weierstrass per funzioni continue é ottenuto applicando le proprietà del prodotto di convoluzione. La parte di analisi funzionale é davvero introduttiva: si studiano proprietà di base degli spazi di Hilbert e di Banach, con una certa enfasi sugli aspetti geometrici degli spazi infinito-dimensionali. A questo scopo abbiamo curato abbastanza a fondo la parte riguardante gli spazi l "piccolo" p che spiegano rapidamente i fenomeni nuovi che si presentano in dimensione infinita. Il testo presenta inoltre una coda di argomenti avanzati che comprende la teoria della funzioni BV e AC con applicazioni agli integrali semplici del calcolo delle variazioni (esistenza alla Tonelli, equazioni di Eulero, etc.). Il testo inoltre propone una ricca varietà di esempi ed esercizi, per i quali si forniscono spesso suggerimenti generosi.