Liesche Gruppen und Algebren (Hochschultext) (German Edition)

I. Kapitel: Grundbegriffe.- § 1. Topologische Mannigfaltigkeiten.- § 2. Differenzierbare und Analytische Mannigfaltigkeiten.- 2.1. Lokale Funktionensysteme.- 2.2. Morphismen der Räume mit lokalem Funktionensystem.- 2.3. Induzierte lokale Funktionensysteme.- 2.4. Definition der differenzierbaren und analytischen Mannigfaltigkeiten.- 2.5. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten.- § 3. Topologische und Analytische Gruppen.- 3.1. Gruppen in Kategorien.- 3.1.1. Kategorien.- 3.1.2. Gruppen in Kategorien.- 3.2. Die topologische bzw. analytische Struktur einer Gruppe ist durch die Struktur im neutralen Element bestimmt.- 3.3. Semidirektes Produkt von Gruppen.- 3.4. Lokale Gruppe, Gruppenkeim.- 3.5. Beispiele topologischer und analytischer Gruppen.- GL (n, IK).- SL(n,IK).- O (n, IK).- Sp (n,IK).- p -- adisches Solenoid.- 3.6. Liesche Gruppen, Struktursätze für Liesche Gruppen.- § 4. Untergruppen.- 4.1. Quotientenräume.- 4.2. Analytische Untergruppen.- 4.3. Einige spezielle Normalteiler.- II. Kapitel: Überlagerungstheorie.- § 1. Überlagerungen.- 1.1. Quasi zusammenhängende Gruppen.- 1.2. Überlagerungen.- 1.3. Hochheben (Liften) von Abbildungen.- 1.4. Induzierte Überlagerung.- § 2. Einfacher Zusammenhang.- 2.1. Triviale Überlagerung.- 2.2. Einfach zusammenhängende Räume. Quasi einfach zusainmenhängende Gruppen.- 2.3. Existenz von Hochhebungen.- 2.4. Produkte von einfach zusammenhängenden Räumen und quasi einfach zusammenhängenden Gruppen.- 2.4.1. Beispiel eines einfach zusammenhängenden, nicht lokal zusammenhängenden Raumes.- 2.5. Einfacher Zusammenhang und Homotopie von Wegen.- § 3. Universelle Überlagerung und Fundamentalgruppe.- 3.1. Universelle Überlagerung.- 3.2. Normale Überlagerungen und Fundamentalgruppe.- 3.3. Existenz von universellen Überlagerungen.- § 4. Lokal Isomorphe Gruppen.- 4.1. Die Gruppen Gu.- 4.2. Lokal isomorphe Gruppen.- 4.3. Erweiterung von lokalen Homomorphismen.- 4.4. Beispiel einer quasi einfach zusammenhängenden, nicht lokal zusammenhängenden Gruppe.- 4.5. Eine Verallgemeinerung der universellen Überlagerung.- 4.6. Die zu einer zusammenhängenden Lieschen Gruppe lokal isomorphen zusammenhängenden Lieschen Gruppen.- SO (3, IR).- SO (4, IR).- SO (n, IR).- SL (n, ?).- SL (n, IR).- III. Kapitel: Differentialtheorie und Liesche Algebren.- § 1. Allgemeines.- 1.1. Tangentenvektoren, Tangentialraum, Differential.- 1.2. Hauptteil einer analytischen Abbildung.- 1.3. Vektorfelder.- 1.4. Das Kommutatorvektorfeld.- 1.5. Integration analytischer Vektorfelder.- § 2. Differentialelemente Einer Lieschen Gruppe.- 2.1. Linksinvariante Vektorfelder auf einer analytischen Gruppe.- 2.2. Die Exponentialabbildung.- Vergleich der komplexen und der reellen Exponentialabbildung.- 2.3. Erste Anwendung von exp.- (Ein stetiger Homomorphismus reell analytischer Gruppen ist reell analytisch.).- 2.4. Zweite Anwendung von exp.- (Eine abgeschlossene Untergruppe einer reell analytischen Gruppe ist mit der induzierten Topologie eine analytische Untergruppe.).- 2.5. Dritte Anwendung von exp.- (Die analytische Struktur auf dem Quotienten einer reell analytischen Gruppe nach einer abgeschlossenen Untergruppe.).- 2.6. Die Exponentialabbildung der Automorphismengruppe eines Vektorräumes.- 2.7. Die Differentialabbildung der Gruppen (O,n, IK), Sp(2n,IK) und SL(n,IK).- § 3. Der Kommutator.- 3.1. Erste Definition des Kommutators.- 3.2. Zweite Definition des Kommutators.- 3.3. Dritte Definition des Kommutators.- 3.4. Die Campbell-Hausdorff -- Formel.- 3.4.1. Liesche Elemente.- 3.4.2. Die Formel von Campbell-Hausdorff.- 3.5. Der Zusammenhang zwischen der Campbell-Hausdorff -- Formel und dem Produkt in einer analytischen Gruppe.- § 4. Liesche Algebren, Sätze von Lie.- 4.1. Definition der Lieschen Algebren.- 4.2. Formulierung der Lieschen Sätze.- 4.3. Beweise der Lieschen Sätze.- 4.4. Über die Bedeutung der Lieschen Sätze für die Klassifikation der analytischen Gruppen.- Klassifikation der zusammenhängenden zweidimensionalen reell analytischen Gruppen und der zusammenhängenden kommutativen analytischen Gruppen.- § 5. Das Zusammenspiel von Liealgebra und Liegruppe.- 5.1. Unteralgebren. Homomorphismen.- 5.2. Automorphismen und Derivationen.- 5.2.1. Derivationen. Die analytische Gruppe der Automorphismen einer endlich dimensionalen Algebra.- 5.2.2. Innere Derivationen. Darstellungen.- 5.2.3. Innere Automorphismen. Adjungierte Darstellung.- 5.3. Ideale. Quotienten.- 5.4. Charakteristische Gruppen und Ideale.- 5.5. Erweiterungen und semidirekte Erweiterungen von Lie- algebren.- 5.6. Zusammenhang zwischen semidirekten Produkten von Lie- algebren und semidirekten Produkten von analytischen Gruppen.- IV. Kapitel: Einige Struktursätze.- § 1. Auflösbare Gruppen.- 1.1. Die abgeleitete Reihe.- 1.2. Definition der Auflösbarkeit.- 1.3. Charakterisierung der Auflösbaren abstrakten Gruppen.- 1.4. Charakterisierung der Auflösbaren Lieschen Algebren.- 1.5. Charakterisierung der Auflösbaren Objekte der Kategorien (3)-(6).- 1.6. Satz von Lie.- 1.6.1. Eigenwerte und Eigenvektoren.- 1.6.2. Satz von Lie.- 1.7. Konstruktion von auflösbaren Lieschen Algebren und Gruppen mit Hilfe von semidirekten Produkten.- § 2. Nilpotente Gruppen und Algebren.- 2.1. Nilpotente Gruppen.- 2.2. Nilpotente Liesche Algebren.- 2.3. Nilpotente Liesche Algebren und Gruppen von Endomorphismen eines Vektorräumes über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.- 2.4. Folgerungen aus der Formel von Campbell-Hausdorff bei nilpotenten Lieschen Gruppen.- § 3. Halbeinfache Algebren und Gruppen.- 3.1. Darstellungen, zu Darstellungen assoziierte Bilinearformen und Moduln, invariante Bilinearformen.- 3.2. Das Radikal einer Lieschen Algebra bzw. einer Lieschen Gruppe.- 3.2.1. Das Radikal einer Lieschen Algebra.- 3.2.2. Das Radikal einer zusammenhängenden Lieschen Gruppe.- 3.3. Cartans Kriterium für Auflösbarkeit.- 3.4. Halbeinfache Algebren.- 3.5. Darstellungen halbeinfacher Algebren.- 3.6. Satz von Levi.- 3.7. Existenz einer Lieschen Gruppe zu gegebener Liealgebra.- § 4. Erwähnung Einiger Weiterer Sätze über Liesche Algebren.- 4.1. Das Radikal einer Lieschen Algebra ist ein charakteristisches Ideal.- 4.2. Grö?tes nilpotentes Ideal und nilpotentes Radikal.- 4.3. Satz von Malcev.- 4.4. Satz von Ado.- § 5. Klassifikation der Komplexen Einfachen Liealgebren und Liegruppen.- § 6. Reelle Einfache Liealgebren und Liegruppen.- 6.1. Beziehungen zwischen reellen und komplexen Liealgebren und zwischen reellen und komplexen Liegruppen.- 6.1.1. Der Fall der Algebren.- 6.1.2. Der Fall der Gruppen. Eine kurze Skizze.- 6.2. Reelle Formen der Ausnahmealgebren.- 6.3. Reelle Formen der klassischen Algebren.- 6.4. Kompaktheit (Erwähnung einiger Sätze).- Literatur.- Zeichentabelle.