Beste Approximation in Räumen von beschränkter p-Variation

Die Verallgemeinerung des bekannten Begriffs der be schr~nkten (totalen) Variation einer Funktion f uber einem Intervall der reellen Achse zur sogenannten beschr~nkten p-Variation V (f), 1 ~ p ~ 00, erfolgte durch N. Wiener [46], p und zwar urn ein Kriterium fur die Konvergenz von Fouri- reihen zu erhalten. Tats~chlich ist gerade die Beschr~nkt heit der p-Variation eine hinreichende Bedingung fur die Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion (vgl. Abschnitt 4.4). Kriterien fur die Konvergenz der Fourier reihe zu erhalten, war auch Motivation fur eine weitere Ver allgemeinerung zur sogenannten beschr~nkten ~-Variation (vgl. Abschnitt 2.1). Diese Arbeit befaBt sich haupts~chlich mit den Funktionen von beschr~nkter p-Variation, und zwar yom Standpunkt der Approximationstheorie aus. Es werden dabei vor allem Konver genzaussagen mit Approximationsordnungen angestrebt. So werden dann auch in Abschnitt 4.4 Fehlerabsch~tzungen fur die n-te Teilsumme der Fourierreihe und fur die Fejerschen arithmeti schen Mittel hergeleitet. In Abschnitt 2.1 geben wir die gebr~uchlichsten Definitionen fur Funktionen von beschr~nkter p-Variation an. Diese zum Teil formal recht unterschiedlichen Definitionen, die nur selten miteinander verglichen wurden, sind jedoch gleich in dem Sinne, daB die Endlichkeit der verschiedenen p-Variationen fur ein festes p immer zur gleichen Funktionenklasse fuhrt. Fur unsere Zwecke ist jedoch die in Abschnitt 2.2 gegebene Definition (Definition 1) am besten geeignet, da sie fur 2rr-periodische Funktionen den Wert der p-Variation unabh~ngig von dem jeweils zugrundegelegten Intervall der L~nge 2rr bestimmt (vgl. (2.6)).