Mathematik für Naturwissenschaftler und Chemiker Eine Einführung in die Anwendungen der Höheren Mathematik

Erster Teil. Funktionen einer Veränderlichen.- Differentialrechnung.- Funktionsbegriff, Grenzwert, Differentialquotient.- Begriff der Funktion 1. -- Darstellung der Funktionen durch eine Tabelle 2. -- Bezeichnungen, Formeln 3. -- Weiteres über Funktionen: Zunehmende und abnehmende Funktionen; Maximum und Minimum; Starke und schwache Funktionen 4. -- Proportionalität 4. -- Beispiele für Proportionalität: Geschwindigkeit; Dichte; Kapazität; Leitfähigkeit 6. -- Diagramme 6. -- Proportionalität im Diagramm 7. -- Die lineare Funktion und die Differenzenquotienten 9. -- Beispiele für lineare Funktionen: Gesetz von Gay-Lussac; Geschwindigkeit 11. -- Versuch der Berechnung der Geschwindigkeit einer ungleichmäßigen Bewegung 12. -- Die momentane Geschwindigkeit 14. -- Ein mathematisches Bedenken 15. -- Nochmalige Berechnung der Momentangeschwindigkeit 16. -- Kritik des vorigen Resultates 18. -- Begriff des Grenzwertes 19. -- Beispiele für den Grenzwert: Vieleck; Reihen 19. -- Definition des Grenzwertes 20. -- $$\\mathop {{\\lim }}\\limits_{{x \\to 0}} \\frac{{{{\\sin {{\\text{{ }}}}x}}}}{{x}} = 1$$ 21.-- Der Differentialquotient 22. -- Geometrische Bedeutung des Differentialquotienten. Steigung der Tangente an einer Kurve 23. -- Die Geschwindigkeit. Bemerkungen über das unendlich Kleine 24. -- Weitere Beispiele für den Differentialquotienten: linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient; Molwärme; Beschleunigung; Dampfspannung; Reaktionsgeschwindigkeit 25..- Einfachste Anwendungen.- Die Differentialquotienten von x2, ax2, cf(x), (cx + b), einer Summe, einer Konstanten, von x3, $$\\sqrt x ,\\frac{{1}}{{2}}$$ 27.-- Übungsbeispiele: Flächeninhalt des Kreises, des Kreisringes; Volum der Kugel; Differentiationen 33. -- Umgekehrte Proportionalität 34. -- Extremwerte 35. -- Beispiele für Extremwerte: Volum des Quaders, des Zylinders, des oben offenen Zylinders; f(x) = 3 x ? x2; das Ionenminimum des Wassers; Umfang des Rechteckes; Wurf nach aufwärts 37. -- Differenzieren nach einer Zwischenfunktion (Kettenregel) 40. -- Die Lichtbrechung 42..- Differentiation algebraischer Funktionen.- Definition. Die Potenzfunktion. Herleitung von $$\\frac{{{{d{{x^n}}}}}}{{{{dx}}}} = n{{\\text{{ }}}}{{x^{{n - 1}}}}$$ 44. -- Beispiele: Differentiationen; Schluß vom Differentialquotienten auf die Funktion; Berechnung des Weges aus der Geschwindigkeit bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung; Arbeit beim Dehnen einer Feder; Berechnung der energiereichsten Wellenlänge im kontinuierlichen Röntgenspektrum 45. -- Der Differentialquotient eines Produktes von Funktionen 48. -- Beispiele: Differentiationen; Maximale Beleuchtungsstärke 48. -- Erweiterung der Produktenregel 50. -- Differentialquotient eines Bruches; Beispiele 51. -- Einteilung der Funktionen 52..- Differentiation von Logarithmus, Exponentialfunktion und Winkelfunktionen.- Der Differentialquotient des Logarithmus 52. -- Beispiele: Differentiationen; das logarithmische Differenzieren; Schluß auf die ursprüngliche Funktion; Arbeit bei der isothermen Gaskompression 54. -- Differentialquotient der Exponentialfunktion 57. -- Beispiele: Differentiationen.; Differentiation der Dampfdruckformel; Abklingen einer radioaktiven Substanz; Absorption von Wellenstrahlung; Verifikation der Formel für das Ansteigen eines Stromes auf seinen Onmschen Wert bei Anwesenheit von Selbstinduktion 58. -- Berechnung der Differentialquotienten der Winkelfunktionen; Diskussion der Resultate an Schaubildern 61. -- Beispiele: Differentiationen; die harmonische Schwingung 63. -- Graphische Differentiation von sin x und cos x 65..- Differentiale und ihre Anwendung.- Definition 66. -- Formeln für Differentiale 67. -- Beispiele: Schluß vom Differential auf die Funktion 69. -- Naturwissenschaftliche Anwendungen; Allgemeines 69. -- Beispiele: Berechnung der Arbeit; Elektrisches Potential; Kompressionsarbeit; Lichtabsorption; Zerfall einer radioaktiven Substanz; Hypsometrische Formel 70. -- Allgemeines über die exponentielle Abhängigkeit 73. -- Beziehungen zwischen Differentialen als Näherungsformeln 75. -- Rechnungsregeln mit kleinen Größen 76..- Die höheren Differentialquotienten.- Definition 77. -- Beispiele: Die Differentialgleichung zweiter Ordnung; Elastische Schwingungen 78. -- Geometrische Bedeutung des zweiten Differentialquotienten; Theorie der Extremwerte; Wendepunkte 79. -- Zusammenfassendes Beispiel für die geometrische Bedeutung des ersten und zweiten Differentialquotienten 82..- Differentiation der Kreisfunktionen.- Integralrechnung.- Das unbestimmte Integral.- Definition, Integrationskonstante 85: -- Allgemeine Formeln 86. -- Beispiele 87. -- Grundformeln der Integralrechnung 87. -- Beispiele: Integrationen; Isotherme Gaskompression; Radioaktiver Zerfall; Absorptionsgesetz; Barometerformel; Arbeit beim Spannen einer Feder; das elektrische Potential; Kinetische Energie; Adiabate Gaskompression 89. -- Einführung einer neuen Veränderlichen (Substitutionsmethode) 93. -- Integration der Differentialgleichung der unimolekularen Reaktion 95. -- Beispiele zur Substitutionsmethode 96. -- Die bimolekulare vollständig verlaufende Reaktion mit gleichen Anfangskonzentrationen 97. -- Integration der Differentialgleichung $$ \\frac{{{{dy}}}}{{{{dx}}}} = {{a^ - }} - by$$ 98.-- Naturwissenschaftliche Anwendungen von $$\\frac{{{{dy}}}}{{{{dx}}}} = a - by$$ (a, b konst.): Nacherzeugung radioaktiver Substanz aus der Muttersubstanz; Ansteigen eines elektrischen Stromes beim Anlegen konstanter Spannung an einen Widerstand mit Selbstinduktion; Fall im widerstehenden Mittel; Rohreite zuckerinversion 99. -- Die Methode der teilweisen Integration 101. -- Beispiele 102. -- Integration durch Partialbruchzerlegung. Das Integral $$ \\int {{\\frac{{{{dx}}}}{{{{\\left( {{a - x}} \\right)\\left( {{b - x}} \\right)}}}}}} $$ 103. -- Die bimolekulare, vollständig verlaufende Reaktion 104. -- Einschaltung über die Ermittlung unbestimmter Werte von der Form, $$ \\frac{{0}}{{0}},\\frac{{\\infty }}{{\\infty }}$$, -- 0 ?, ? -- ? 105. -- Beispiel für Partialbruchzerlegung. Wiedervereinigung der Gasionen 108. -- Die Autokatalyse unimolekularer Reaktionen 109..- Das bestimmte Integral.- Begriff des bestimmten Integrals 111. -- Rechenbeispiele 114. Praktische Anwendungen: Berechnung von Weg, Arbeit, Potential, kinetischer Energie; Arbeit bei der isothermen Gaskompression; Barometerformal; Unimolekulare Reaktion 115. -- Flächeninhaltsbestimmung 118. -- Beispiele für Flächeninhaltsberechnungen: Rechteck; Rechtwinkliges Dreieck; Kreis; Ellipse; Parabelsegment 120. -- Deutung von bestimmten Integralen als Fläche 122. -- Beispiele: Der Weg im Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild; die Arbeit im Kraft-Weg-Schaubild; Arbeit im Druck-Volum-Schaubild 122. -- Kreisprozeß 125: -- Vorzeichen der Arbeit 126. Der Carnotsche Kreisprozeß 126. -- Weiteres über Flächeninhaltsermittlung 128. -- Die Differentiation eines bestimmten Integrals nach seinen Grenzen 129. -- Rechenregeln bei geraden und ungeraden Funktionen 129. -- Mittlere Stromstärke 130. -- Mittlere Ordinate einer Kurve = Mittelwert einer Funktion 131. -- Galvanometrischer Mittelwert Jg der Stromstärke 132. -- Der effektive Mittelwert der Stromstärke Jeff 133. -- Der Mittelwert des elektrischen Momentes von Dipolen, ein Beispiel für die statistische Methode in den Naturwissenschaften 134. -- Angenäherte Integration: Trapezformel; Stirlings Näherungsformel für N !; Simpsons Regel 137. -- Näherungswert von $$ \\int\\limits_0^{{\\frac{{\\pi }}{{2}}}} {{\\sin {{\\text{{ }}}}x{{\\text{{ }}}}d{{\\text{{ }}}}x}} $$ 141. -- Verwendung von Simpsons Regel in der chemischen Kinetik 142. -- Wiederholte Integration 143. -- Doppelintegral 144. -- Berechnung der Wahrscheinlichkeitsintegrale. Anwendung auf Maxwells Geschwindigkeitsverteilungsgesetz 145. Berechnung eines Trägheitsmomentes 148..- Etwas über Reihen.- Konvergenz 150. -- Kriterium der Konvergenz. Die unendliche geometrische Reihe 150. -- Reihe von Mac Laurin 153. -- Reihe für ex 154. -- Reihen für sin x und cos x 156. -- eix = cos x + i sin x. Eulersche Formel 157. -- Die Reihe von Taylor 158. -- Die Reihe für ln x 159. Die binomische Reihe 160. -- Integration durch unendliche Reihen 161..- Bedingungen für die Differenzierbarkeit einer Funktion.- Stetigkeit 163. -- Knickstellen 168. -- Differenzierbarkeit 169. -- Eindeutigkeit 170. -- Analytische Funktionen 170..- Zweiter Teil. Funktionen mehrerer Veränderlichen.- Funktionen zweier Veränderlichen.- Der partielle Differentialquotient 171. -- Beispiele 171. -- Partielles und totales Differential 174. -- Einfluß von Meßfehlern auf das Resultat, Beispiele 175. -- Unentwickeltes Differenzieren 176. -- Beispiele 177. -- Die höheren partiellen Differentialquotienten. -- Beispiele: Berechnung der Konstanten von Van Der Waals Gleichung aus den kritischen Daten; die Differentialgleichung der schwingenden Saite 177. -- Satz von Schwarz $$ \\frac{{{{{{\\partial ^2}}f\\left( {{x,y}} \\right)}}}}{{{{\\partial y\\partial x}}}} = \\frac{{{{{{\\partial ^2}}f\\left( {{x,y}} \\right)}}}}{{{{\\partial x\\partial y}}}}$$ 179. -- Vollständiges und unvollständiges Differential 180. -- Beispiele 181. -- Das Kurvenintegral 182. -- Der integrierende Faktor 184. -- Anwendung der Bedingung $$ \\frac{{{{{{\\partial ^2}}f\\left( {{x,y}} \\right)}}}}{{{{\\partial y\\partial x}}}} = \\frac{{{{{{\\partial ^2}}f\\left( {{x,y}} \\right)}}}}{{{{\\partial x\\partial y}}}}$$ in der Thermodynamik; Die Entropie 185. -- Beispiele: Berechnung der Differenz der spezifischen Wärmen eines homogenen Körpers 188. -- Die Formel von Clausius-Clapeyron 189. -- Anwendungen der Formel von Clausius-Clapeyron: Dampfdruckkurve; Siedepunktserhöhung 190..- Funktionen von drei Veränderlichen.- Kriterium für ein exaktes Differential 192. -- Beispiele: Potential und Feldstärke, Die Laplacesche Ableitung; Relativer Fehler bei Messung der JouLEschen Wärme 193..- Fu nktionen von n Veränderlichen. Superposition kleiner Wirkungen, Methode der kleinsten Quadrate. Die partiellen molaren Eigenschaften.- Dritter Teil. Differentialgleichungen.- Einteilung.- Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- Die exakte Differentialgleichung erster Ordnung 199. -- Die nicht exakte