Aufgabensammlung der höheren Mathematik

1. Analytische Geometrie der Ebene.- 1.1. Punktkoordinaten auf der Geraden und in der Ebene. Der Abstand zweier Punkte.- 1.2. Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis. Flächeninhalt eines Dreiecks, Flächeninhalt von Vielecken.- 1.3. Gleichung einer Kurve.- 1.4. Gleichung der Geraden: 1. in Normalform, 2. in allgemeiner Form, 3. in Achsenabschnittsform.- 1.5. Winkel zwischen zwei Geraden. Gleichung des Büschels aller Geraden, die durch einen gegebenen Punkt gehen. Gleichung der Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht (Zweipunktegleichung). Schnittpunkt zweier Geraden.- 1.6. Die (Hessesche) Normalform der Geradengleichung. Abstand eines Punktes von einer Geraden. Gleichungen der Winkelhalbierenden. Gleichung eines Büschels von Geraden, die durch den Schnittpunkt zweier gegebener Geraden gehen.- 1.7. Vermischte Aufgaben zur Geometrie der Geraden.- 1.8. Kreis.- 1.9. Ellipse.- 1.10. Hyperbel.- 1.11. Parabel.- 1.12. Leitlinien, Durchmesser und Tangenten von Kurven 2. Ordnung.- 1.13. Transformation cartesischer Koordinaten. Die Parabeln y = ax2 + bx + c und x = ay2 + by + c. Die Hyperbel x · y = k.- 1.14. Vermischte Aufgaben zu Kurven 2. Ordnung.- 1.15. Allgemeine Gleichung einer Kurve 2. Ordnung.- 1.16. Polarkoordinaten.- 1.17. Algebraische Kurven 3. und höherer Ordnung.- 1.18. Transzendente Kurven.- 2. Vektoralgebra.- 2.1. Addition von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 2.2. Rechtwinklige Koordinaten eines Punktes und eines Vektors im Raum.- 2.3. Skalarprodukt zweier Vektoren.- 2.4. Vektorprodukt zweier Vektoren.- 2.5. Gemischtes Produkt dreier Vektoren (Spatprodukt).- 3. Analytische Geometrie des Raumes.- 3.1. Gleichung einer Ebene.- 3.2. Grundlegende Aufgaben zur Ebene.- 3.3. Gleichungen der Geraden.- 3.4. Gerade und Ebene.- 3.5. Sphärische und zylindrische Flächen.- 3.6. Konische Flächen und Rotationsflächen.- 3.7. Ellipsoid, Hyperboloide, Paraboloide.- 4. Höhere Algebra.- 4.1. Determinanten.- 4.2. Lineare Gleichungssysteme.- 4.3. Komplexe Zahlen.- 4.4. Gleichungen höheren Grades. Näherungsweise Lösung einer Gleichung.- 5. Einführung in die Analysis.- 5.1. Veränderliche Größen und Funktionen.- 5.2. Zahlenfolgen. Grenzwert einer Veränderlichen. Grenzwert einer Funktion.- 5.3. Grenzwerteigenschaften. Bestimmung einfacher ,,unbestimmter Ausdrücke" der Form $$\\frac{{0}}{{0}}und\\frac{{\\infty }}{{\\infty }}$$.- 5.4. $$\\mathop {{\\lim }}\\limits_{{\\alpha \\to 0}} \\frac{{{{\\sin \\alpha }}}}{{\\alpha }}$$.- 5.5. ,,Unbestimmte Ausdriicke" der Form ,,? ? ?" und ,,0 · ?".- 5.6. Vermischte Beispiele zur Berechnung von Grenzwerten.- 5.7. Ordnung kleiner -- gegen Null strebender Größen.- 5.8. Stetigkeit einer Funktion.- 5.9. Asymptoten.- 5.10. Die Zahle.- 6. Ableitung und Differential.- 6.1. Ableitung algebraischer und trigonometrischer Funktionen.- 6.2. Ableitung der Funktion einer Funktion.- 6.3. Tangente und Normale einer ebenen Kurve.- 6.4. Fälle der NichtdifFerenzierbarkeit stetiger Funktionen.- 6.5. Ableitung der Logarithmus- und Exponentialfunktion.- 6.6. Ableitung der Arkusfunktion.- 6.7. Ableitung der Hyperbelfunktionen.- 6.8. Vermischte Beispiele und Aufgaben zur Differentiation.- 6.9. Ableitungen höherer Ordnung.- 6.10. Ableitung impliziter Funktionen.- 6.11. Differential einer Funktion.- 6.12. Parameterdarstellung einer Kurvengleichung.- 7. Anwendungen der Ableitung einer Funktion.- 7.1. Geschwindigkeit und Beschleunigung.- 7.2. Hauptsätze der Differentialrechnung.- 7.3. Bestimmung unbestimmter Ausdrücke; l''Hospitalsche Regel.- 7.4. Steigen und Fallen einer Funktion. Maximum und Minimum.- 7.5. Extremwertaufgaben.- 7.6. Konvexität und Konkavität. Wendepunkte einer Kurve. Kurvendiskussion.- 8. Unbestimmtes Integral.- 8.1. Unbestimmtes Integral. Integral einer Summe.- 8.2. Integration durch Substitution.- 8.3. Integrale von der Form $$\\int {{\\frac{{{{dx}}}}{{{{{{x^2}} \\pm {{a^2}}}}}}}} ,\\int {{\\frac{{{{dx}}}}{{{{\\sqrt {{{{a^2}} - {{x^2}}}} }}}}}} ,\\int {{\\frac{{{{dx}}}}{{{{\\sqrt {{{{x^2}} - k}} }}}}}} $$ mit Angabe geeigneter Substitutionen.- 8.4. Partielle Integration.- 8.5. Integration trigonometrischer Funktionen.- 8.6. Integration rationaler algebraischer Funktionen.- 8.7. Integration einiger irrationaler algebraischer Funktionen.- 8.8. Integration einiger transzendenter Funktionen.- 8.9. Integration der Hyperbelfunktionen. Substitution durch Hyperbelfunktionen.- 8.10. Vermischte Beispielezur Integration.- 9. Bestimmtes Integral.- 9.1. Berechnung des bestimmten Integrals.- 9.2. Flächenberechnung.- 9.3. Volumen eines Rotationskörpers.- 9.4. Bogenlänge eines ebenen Kurvenstücks.- 9.5. Oberfläche eines Rotationskörpers.- 9.6. Aufgaben aus der Physik.- 9.7. Uneigentliche Integrale.- 9.8. Mittelwert einer Funktion.- 9.9. Die (Sehnen-) Trapezformel und die Simpsonsche Regel.- 10. Krümmung ebener und räumlicher Kurven.- 10.1. Krümmung einer ebenen Kurve. Krümmungsmittelpunkt und Krümmungsradius. Evolute.- 10.2. Bogenlänge einer Raumkurve.- 10.3. Ableitung einer Vektorfunktion nach einem Skalar und ihre mechanische und geometrische Bedeutung. Begleitendes Dreibein einer Kurve.- 10.4. Krümmung und Windung einer Raumkurve.- 11. Partielle Ableitungen, vollständige Differentiale und deren Anwendung.- 11.1. Funktionen zweier Veränderlicher und ihre geometrische Darstellung.- 11.2. Partielle Ableitungen 1.Ordnung.- 11.3. Vollständiges Differential 1.Ordnung.- 11.4. Ableitungen mittelbarer Funktionen.- 11.5. Ableitungen impliziter Funktionen.- 11.6. Partielle Ableitungen und vollständige Differentiale hdherer Ordnung.- 11.7. Integration vollständiger Differentiale.- 11.8. Singuläre Punkte einer ebenen Kurve.- 11.9. Enveloppe einer ebenen Kurvenschar.- 11.10. Tangentialfläche und Flächennormale.- 11.11. Skalares Feld. Niveaulinien und Niveauflächen. Ableitung nach einer gegebenen Richtung. Gradient.- 11.12. Extremum einer Funktion zweier Veränderlicher.- 12. Differentialgleichungen.- 12.1. Begriff der Differentialgleichung.- 12.2. Integration der Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Trennung der Veränderlichen. Orthogonale Trajektorien.- 12.3. Differentialgleichungen 1.Ordnung 1. homogene, 2. lineare, 3. Bernoullische.- 12.4. Differentialgleichungen, die Differentiale eines Produkts oder Quotienten enthalten.- 12.5. Differentialgleichungen 1. Ordnung, die ein vollständiges Differential enthalten. Integrierender Faktor.- 12.6. Differentialgleichungen 1. Ordnung, die nicht nach y? aufgelöst sind. Gleichungen von Lagrange und Clairaut.- 12.7. Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich auf Gleichungen niedrigerer Ordnung zurückftihren lassen.- 12.8. Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 12.9. Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 12.10. Beispiele von Differentialgleichungen verschiedener Typen.- 12.11. Lineare Eulersche Differentialgleichung.- 12.12. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 12.13. Lineare (partielle) Differentialgleichungen 2. Ordnung (Methode der Charakteristiken).- 13. Doppel-, Dreifach- und Kurvenintegrale.- 13.1. Flächenberechnung mit Hilfe des Doppelintegrals.- 13.2. Schwerpunkt und Trägheitsmoment einer Fläche bei homogener Massenverteilung (Dichte ? = 1).- 13.3. Berechnung des Rauminhalts mit Hilfe des Doppelintegrals.- 13.4. Inhalt gekrümmter Flächen.- 13.5. Dreifachintegral und seine Anwendung.- 13.6. Kurvenintegral. Greenscher Integralsatz.- 13.7. Oberflächenintegrale. Integralsätze von Gauß-Ostrogradski und Stokes.- 14. Reihen.- 14.1. Zahlenreihen.- 14.2. Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe.- 14.3. Potenzreihen.- 14.4. Taylor- und MacLaurin-Reihen.- 14.5. Anwendung von Reihen bei Näherungsberechnungen.- 14.6. Taylor-Reihe einer Funktion zweier Veränderlicher.- 14.7. Fourier-Reihe. Fouriersches Integral.- Lösungen.