Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben

Das Ziel der hier vorliegenden Abhandlung ist eine einfache einheitliche Darstellung der Konvergenzbeweise fUr numerische Verfahren nichtlinea­ rer Optimierungsaufgaben und der damit verbundenen nichtlinearen Gleichungen. 1m wesentlichen werden Verfahren betrachtet, die auf der Idee des Gradienten- und Newton-Verfahrens beruhen. Es wurde dabei nach moglichst einfachen Beweisen fUr die Konvergenz und die Konver­ genzgeschwindigkeit von Algorithmen fUr Aufgaben in dem Euklidischen n Raum IR gesucht. Es hat sich aber herausgestellt, daB gerade die einfa­ n chen Beweise nicht die spezielle Struktur des IR benutzen und in allge­ meinen normierten Raumen gUltig sind. Das zentrale Beweismittel ist hier der Mittelwertsatz der Differentialrechnung in der Integralform, der auch in Banachraumen gilt. Wir setzen den Begriff eines Vektorraumes ( linearen Raumes ) als bekannt voraus und wollen mit der Definition eines normierten Raumes die EinfUhrung beginnen. Die Auswahl der Eigenschaften eines normierten Raumes wird sich an der Tatsache orien­ n tieren, daB die Numerik in IR im Vordergrund stehen soll. linter einem Vektorraum wird im gesamten Text ein Vektorraum Uber dem Korper der reellen Zahlen verstanden. Es wird empfohlen sofort mit dem eigentlichen Text (ab Kapitel 1) anzufangen und die EinfUhrung nur als Nachschlage­ werk zu benutzen. Denn die EinfUhrung ist an einigen Stellen als Ergan­ zung gedacht. So werden z. B. im Abschnitt 0. 8. 6 uniform konvexe Funk­ n tionen eingefUhrt, die auch fUr die Numerik in IR wichtig sind.